Erst innen, dann außen: Verkettung von Funktionen interaktiv

Verkettung ist eines der Themen, bei denen in der 12. Klasse viel schiefgehen kann, obwohl die Idee dahinter klein ist: Wir setzen eine Funktion in eine andere ein. Wo es hakt, ist meist die Reihenfolge, die Definitionsmenge oder die Frage, was bei \(\sin^2 x\) eigentlich innen steht. Deshalb haben wir dazu eine interaktive Lernseite gebaut, dazu einen Hefteintrag und ein Arbeitsblatt in LaTeX. Alle drei Dateien gibt es unten zum Download.

Die Idee: jeder Zwischenwert wird sichtbar

Für \((f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)\) rechnen wir zwei Schritte nacheinander: erst die innere Funktion \(g\), dann die äußere Funktion \(f\). An der Tafel verschwindet der Zwischenwert \(u=g(x)\) oft im Einsetzen. Auf der Lernseite steht er dagegen immer da, und genau daran lässt sich jeder Schritt nachrechnen.

Ein Beispiel mit \(g(x)=2x+1\) und \(f(u)=u^2\) an der Stelle \(x=1{,}5\):

\[x=1{,}5\ \xrightarrow{\ g\ }\ u=2\cdot1{,}5+1=4\ \xrightarrow{\ f\ }\ y=4^2=16\]

Tauschen wir die Reihenfolge, kommt etwas anderes heraus: \(f(1{,}5)=2{,}25\) und \(g(2{,}25)=5{,}5\). Damit ist \(f\circ g\neq g\circ f\) nicht nur ein Satz im Merkkasten, sondern ein Ergebnis, das die Schülerinnen und Schüler selbst sehen. Auf der Seite reicht dafür ein Klick auf den Tausch-Knopf.

Was die Lernseite zeigt

Oben wählt man innere und äußere Funktion aus, alle Abschnitte rechnen dann mit demselben Paar. Die Seite führt in acht Schritten durch das Thema:

Einstieg Ölfleck: Der Radius wächst mit \(r(t)=0{,}5\,t\) (\(t\) in min, \(r\) in m), die Fläche ist \(A(r)=\pi r^2\). Nach \(t=4\,\text{min}\) ist \(r=2\,\text{m}\) und \(A=4\pi\,\text{m}^2\approx12{,}6\,\text{m}^2\).
Funktionsmaschine: Eine Kugel läuft animiert erst durch \(g\), dann durch \(f\), und trägt dabei ihren aktuellen Wert.
Drei-Achsen-Bild: Drei Zahlengeraden für \(x\), \(u\) und \(y\), dazwischen Zuordnungspfeile. Man sieht direkt, wo ein Pfeil endet, weil das Zwischenergebnis nicht in \(D_f\) liegt.
Definitionsmenge: \(D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}\) mit Beispielen wie \(\sqrt{4-x^2}\) und \(\ln(x-3)\).
Grafische Konstruktion des Graphen von \(f\circ g\) über die Winkelhalbierende \(y=x\), Schritt für Schritt oder als Spur.
Zerlegungs-Puzzle in drei Schwierigkeitsstufen, mit gezielten Rückmeldungen zu typischen Fehlern.
Fehler-Detektiv: Wahr-oder-falsch-Aussagen mit Begründung.
Ausblick Kettenregel: warum sich die Ableitungen multiplizieren.

Warum diese Darstellung den Schülerinnen und Schülern hilft

Die Definitionsmenge wird greifbar. Nehmen wir \(f(u)=\sqrt{u}\) und \(g(x)=4-x^2\). Bei \(x=1\) läuft alles durch: \(u=3\), \(y=\sqrt3\approx1{,}73\). Bei \(x=2{,}5\) ist \(u=4-6{,}25=-2{,}25\), und der Pfeil im Drei-Achsen-Bild endet mit einem roten Kreuz auf der \(u\)-Achse, weil die Wurzel aus \(-2{,}25\) nicht definiert ist. Über der \(x\)-Achse markiert ein grüner Streifen genau die Stellen, die durchkommen: das Intervall \([-2;2]\). Die Bedingung \(4-x^2\ge0\) bekommt damit ein Bild.

Der Graph entsteht aus den Bausteinen. Im selben Beispiel zeichnet die Konstruktion über \(y=x\) Punkt für Punkt einen Halbkreis mit Radius \(2\). Dass \(\sqrt{4-x^2}\) ein Halbkreis ist, rechnen viele erst später nach. Hier sieht man es, bevor man es rechnet.

Die Kettenregel bekommt eine Begründung. Mit \(g(x)=2x+1\), \(f(u)=u^2\), \(x_0=1{,}5\) und \(\Delta x=0{,}1\) wächst \(u\) von \(4\) auf \(4{,}2\), also \(\Delta u=0{,}2\) (Faktor \(2\)). Dann wächst \(y\) von \(16\) auf \(17{,}64\), also \(\Delta y=1{,}64\) (Faktor \(8{,}2\)). Zusammen ist \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=8{,}2\cdot2=16{,}4\). Macht man \(\Delta x\) kleiner, gehen die Faktoren gegen \(f'(4)=8\) und \(g'(1{,}5)=2\):

\[(f\circ g)'(1{,}5)=f'\big(g(1{,}5)\big)\cdot g'(1{,}5)=8\cdot2=16\]

Streng genommen gilt die Zerlegung \(\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\) nur für \(\Delta u\neq0\). Die Seite sagt das auch so dazu.

Fehler werden gezielt aufgefangen. Wer im Puzzle bei \(\sin^2 x\) die innere Funktion \(x^2\) wählt, bekommt nicht nur „falsch“ angezeigt, sondern die Vorschau \(\sin(x^2)\) und den Hinweis, dass \(\sin^2 x\) für \((\sin x)^2\) steht.

Für den Unterricht

Die Lernseite ist eine einzige HTML-Datei und braucht keinen Server und kein Internet. Formeln und Schriften sind eingebettet, es werden keine Daten an fremde Server geschickt. Damit lässt sie sich in drei Situationen einsetzen:

Gemeinsam im Klassenzimmer: Am Beamer oder Display rechnen wir die Beispiele gemeinsam durch. Die Klasse sagt den nächsten Zwischenwert voraus, dann prüfen wir ihn auf der Seite.
Danach in Moodle (ByCS): Die Datei als Arbeitsmaterial in den Kurs laden, dann haben alle sie zum Nacharbeiten. Falls der Browser die Datei nur herunterlädt statt sie anzuzeigen, öffnet man sie einfach lokal per Doppelklick.
Zum Selbstlernen: Wer gefehlt hat oder das Thema vor der Schulaufgabe wiederholen will, kann alle acht Abschnitte allein durcharbeiten. Puzzle und Fehler-Detektiv geben direkt Rückmeldung.

Hefteintrag und Arbeitsblatt passen zur Seite und verwenden dieselben Beispiele. Das Arbeitsblatt hat acht Aufgaben mit aufsteigender Schwierigkeit von einem bis drei Sternen, vom Berechnen einzelner Werte bis zur Definitionsmenge von \(\ln(x^2-2x-3)\). Der Lösungsteil enthält ausführliche Lösungen, Erklärkästen zu den schweren Stellen und einen Kasten mit typischen Schülerfehlern für die Lehrkraft. Für die Schülerversion setzt man im Quelltext \loesungentrue auf \loesungenfalse.