Verkettung von Funktionen

0 Einstieg: Der Ölfleck

Auf einem See breitet sich ein kreisförmiger Ölfleck aus. Sein Radius wächst mit der Zeit: $r(t)=0{,}5\cdot t$ ($t$ in min, $r$ in m). Die Fläche hängt vom Radius ab: $A(r)=\pi r^2$. Wie groß ist die Fläche nach $t$ Minuten?

$t$ = 4 min

Du rechnest zwei Schritte nacheinander: erst $t\mapsto r$, dann $r\mapsto A$. Insgesamt ist $A(r(t))=\pi\,(0{,}5t)^2=0{,}25\pi t^2$. Genau das nennt man eine Verkettung.

1 Die Funktionsmaschine

Stell dir jede Funktion als Maschine vor. Die Zahl $x$ läuft zuerst durch die innere Maschine $g$, das Ergebnis $u=g(x)$ wird sofort in die äußere Maschine $f$ gesteckt. Wähle oben die beiden Funktionen.

$x$ =

Forscherfrage: Ist die Reihenfolge egal? Drück oben auf ⇄ und vergleiche.

Merke: Verkettung Für Funktionen $f$ und $g$ heißt die Funktion $f\circ g$ mit $$(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)$$ die Verkettung von $f$ und $g$ (gesprochen: „$f$ nach $g$“ oder „$f$ verkettet mit $g$“). $g$ ist die innere, $f$ die äußere Funktion. Die rechts stehende Funktion wirkt zuerst! Im Allgemeinen ist $f\circ g\neq g\circ f$.

In manchen Schulbüchern heißt es $h(x)=u(v(x))$ mit äußerer Funktion $u$ und innerer Funktion $v$ – gemeint ist dasselbe.

2 Das Drei-Achsen-Bild

Statt eines Graphen siehst du hier drei Zahlengeraden übereinander. Jeder Pfeil zeigt, wohin eine Zahl geschickt wird: $x \xrightarrow{\;g\;} u \xrightarrow{\;f\;} y$. Zieh den dicken Pfeil (oder nutze den Regler) und beobachte, wo es „hakt“.

$D_g$ $D_f$ (auf der $u$-Achse) $D_{f\circ g}$ ✕ nicht definiert

$x$ =

3 Wann darf man verketten? – Die Definitionsmenge

Die äußere Maschine $f$ verarbeitet nur Zahlen aus ihrer Definitionsmenge $D_f$. Deshalb gehören zu $D_{f\circ g}$ nur die $x$, die zwei Tests bestehen:

Merke $$D_{f\circ g}=\{\,x\in D_g \mid g(x)\in D_f\,\}$$ ① $x$ muss in $D_g$ liegen. ② Das Zwischenergebnis $g(x)$ muss in $D_f$ liegen.

Beispiel 1: $f(u)=\sqrt{u}$, $g(x)=4-x^2$. Es muss gelten $4-x^2\ge 0 \iff x^2\le 4 \iff -2\le x\le 2$. Also $D_{f\circ g}=[-2;2]$, obwohl $D_g=\mathbb{R}$ ist.

Beispiel 2: $f(u)=\ln u$, $g(x)=x-3$. Es muss gelten $x-3>0\iff x>3$, also $D_{f\circ g}=\,]3;\infty[$.

4 Den Graphen von $f\circ g$ konstruieren

Mit der Winkelhalbierenden $y=x$ kann man $f(g(x))$ ganz ohne Rechnung aus den Graphen von $g$ und $f$ ablesen. Der Trick: Ein Funktionswert (Höhe) wird an $y=x$ zu einer Stelle (Rechtswert) „umgeklappt“.

$G_g$$G_f$ $y=x$$G_{f\circ g}$

$x$ =

$G_{f\circ g}$ einblenden

5 Rückwärts denken: Funktionen zerlegen

Für die Kettenregel musst du später eine gegebene Funktion $h$ in eine innere Funktion $g$ und eine äußere Funktion $f$ zerlegen, sodass $h(x)=f(g(x))$. Wähle jeweils ein Paar – die Vorschau zeigt dir, was beim Einsetzen herauskommt.

Tipp: Frag dich „Was würde ich in den Taschenrechner zuerst eintippen?“ – das ist die innere Funktion.

6 Fehler-Detektiv: wahr oder falsch?

Hier stecken typische Fehler. Entscheide und lies die Begründung. Punkte: 0 / 0

7 Ausblick: Warum sich bei der Kettenregel Faktoren multiplizieren

Ein kleines Intervall der Länge $\Delta x$ wird von $g$ ungefähr um den Faktor $g'(x_0)$ gestreckt, danach von $f$ ungefähr um den Faktor $f'(g(x_0))$. Zwei Streckungen hintereinander ergeben das Produkt der Faktoren. Die Funktionen wählst du oben.

$x_0$ =

$\Delta x$ =

Kettenregel (Vorschau) Ist $g$ an der Stelle $x_0$ und $f$ an der Stelle $g(x_0)$ differenzierbar, so gilt $$(f\circ g)'(x_0)=f'\big(g(x_0)\big)\cdot g'(x_0)$$ „äußere Ableitung (an der inneren Funktion ausgewertet) mal innere Ableitung“.

Die Gleichung $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}$ gilt exakt, solange $\Delta u\neq0$ ist. Der strenge Beweis der Kettenregel muss den Fall $\Delta u=0$ gesondert behandeln.

✓ Das Wichtigste auf einen Blick

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$: von innen nach außen rechnen – erst $g$, dann $f$.
Die Reihenfolge zählt: im Allgemeinen $f\circ g\neq g\circ f$.
$D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}$ – das Zwischenergebnis muss „passen“.
Grafisch: $x$ → hoch zu $G_g$ → waagrecht zu $y=x$ → senkrecht zu $G_f$ → zurück über $x$.
Zerlegungen sind nicht eindeutig; man wählt die, die das Weiterrechnen am einfachsten macht.
Verkettung ist Einsetzen, nicht Multiplizieren: $f\circ g\neq f\cdot g$.