Zeitkonstante am RC-Glied: Was nach 5τ wirklich übrig bleibt

Ein Kondensator wird über einen Widerstand geladen, und irgendwann gilt er als „voll“. Wann genau? Dieser Artikel rechnet nach, was die Zeitkonstante $\tau = R \cdot C$ bedeutet und warum die Faustregel $5\tau$ gut funktioniert. Am Ende können wir den Verlauf selbst messen und $\tau$ aus der Kurve bestimmen.

Die Gleichung

Wird ein anfangs ungeladener Kondensator der Kapazität $C$ über einen Widerstand $R$ an die konstante Spannung $U_0$ gelegt, steigt die Kondensatorspannung nach

$$u_C(t) = U_0 \left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = R \cdot C.$$

Dabei ist $t$ die Zeit seit dem Einschalten. Die Einheit stimmt: $1\,\Omega \cdot 1\,\mathrm{F} = 1\,\frac{\mathrm{V}}{\mathrm{A}} \cdot 1\,\frac{\mathrm{A\,s}}{\mathrm{V}} = 1\,\mathrm{s}$.

Mit $R = 10\,\mathrm{k\Omega}$ und $C = 100\,\mathrm{\mu F}$ ergibt sich $\tau = 1\,\mathrm{s}$.

Was nach 1τ, 2τ, 3τ und 5τ erreicht ist

Streng genommen erreicht $u_C$ den Wert $U_0$ nie ganz. Es bleibt immer ein Rest $U_0 \, e^{-t/\tau}$. Wie groß der ist, zeigt die Tabelle:

Nach $5\tau$ fehlt also weniger als ein Prozent. Im Beispiel ($\tau = 1\,\mathrm{s}$) sind das fünf Sekunden. Für die meisten Anwendungen reicht das als „voll“, für präzise Messungen nicht. Wer 0,1 % Genauigkeit braucht, wartet etwa $7\tau$, denn $e^{-7} \approx 0{,}09\,\%$.

Praxis: Aufbau und Messung

Benötigt wird ein Steckbrett, ein Widerstand mit $10\,\mathrm{k\Omega}$, ein Elektrolytkondensator mit $100\,\mathrm{\mu F}$ (auf die Polung achten), eine Gleichspannungsquelle und ein Multimeter mit Stoppuhr oder ein Oszilloskop.

1. Kondensator zuerst entladen, am besten durch kurzes Überbrücken der Anschlüsse.
2. Spannungsquelle einschalten und alle 0,5 s die Kondensatorspannung notieren.
3. Die Werte als $u_C(t)$ auftragen.

Auswertung: Die Tangente an die Kurve bei $t = 0$ hat die Steigung $U_0/\tau$ und schneidet deshalb die Höhe $U_0$ genau bei $t = \tau$. Das lässt sich im Diagramm direkt ablesen. Alternativ liest man die Zeit ab, bei der $0{,}632 \cdot U_0$ erreicht sind.

Stolpersteine

• Toleranz: Aluminium-Elektrolytkondensatoren haben große Toleranzen, $\pm 20\,\%$ sind üblich (zum Beispiel bei der Panasonic-Serie FR). Maßgeblich ist das Datenblatt des verwendeten Bauteils. Das gemessene $\tau$ weicht dann vom berechneten ab, ohne dass jemand einen Fehler gemacht hat.
• Messgerät: Ein Multimeter liegt parallel zum Kondensator und belastet ihn. Der Innenwiderstand liegt typischerweise im Megaohmbereich (Angabe im Datenblatt des Geräts). Gegenüber $10\,\mathrm{k\Omega}$ ist das vernachlässigbar, bei einem Widerstand von $1\,\mathrm{M\Omega}$ allerdings nicht mehr.
• Leckstrom: Reale Kondensatoren entladen sich langsam von selbst. Bei sehr langen Messungen fällt das auf.

Für den Unterricht

Jahrgangsstufe: 12. Der LehrplanPLUS für das bayerische Gymnasium sieht in Physik 12 das Schülerexperiment „Auf- und Entladevorgang bei einem RC-Glied“ vor, auf erhöhtem Anforderungsniveau mit Differentialgleichung und dem Einfluss von $R$ und $C$ auf die Zeitkonstante. Zeitbedarf: etwa 45 Minuten für Aufbau, Messung und Auswertung. Material: Steckbrett, Widerstand, Elko, Netzteil oder Batteriehalter, Multimeter, Stoppuhr.

Eine Idee: Gruppen bauen denselben Aufbau mit unterschiedlichen Widerständen und sagen vorher $\tau$ voraus. Anschließend vergleichen wir Vorhersage und Messung und diskutieren die Abweichung (Toleranz, Ablesefehler, Messgerät).

Fazit

Die Zeitkonstante $\tau = R \cdot C$ legt fest, wie schnell sich ein RC-Glied einstellt. Nach $5\tau$ sind $99{,}3\,\%$ erreicht, ganz erreicht wird $U_0$ nie. Wer das einmal selbst gemessen hat, vertraut der Faustregel mit ihren Grenzen.